Question

（2016新疆）如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．

（1）求证：四边形BCED′是菱形；

（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；（2）由四边形DAD′E是平行四边形，得到▱DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=，DG=，根据勾股定理即可得到结论．

试题解析：（1）证明：∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，

∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，

∵DE∥AD′，

∴∠DEA=∠EAD′，

∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，

∴∠DAD′=∠DED′，

∴四边形DAD′E是平行四边形，

∴DE=AD′，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AB∥DC，

∴CE=D′B，CE∥D′B，

∴四边形BCED′是平行四边形；

∵AD=AD′，

∴▱DAD′E是菱形，

（2）∵四边形DAD′E是菱形，

∴D与D′关于AE对称，

连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，

过D作DG⊥BA于G，

∵CD∥AB，

∴∠DAG=∠CDA=60°，

∵AD=1，

∴AG=，DG=，

∴BG=，

∴BD==，

∴PD′+PB的最小值为．