Question

在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥BC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．

（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；

（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；

（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）DE的长分别为或3．

【解析】

（1）由比例中项知，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；

（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知，据此求得AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知，求得AM＝，由求得MN＝；

（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．

【解析】
（1）∵AE是AM和AN的比例中项

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△AME∽△AEN，

∴∠AEM＝∠ANE，

∵∠D＝90°，

∴∠DCE＋∠DEC＝90°，

∵EM⊥BC，

∴∠AEM＋∠DEC＝90°，

∴∠AEM＝∠DCE，

∴∠ANE＝∠DCE；

（2）∵AC与NE互相垂直，

∴∠EAC＋∠AEN＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ANE＋∠AEN＝90°，

∴∠ANE＝∠EAC，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠EAC，

∴tan∠DCE＝tan∠DAC，

∴，

∵DC＝AB＝6，AD＝8，

∴DE＝，

∴AE＝8﹣＝，

由（1）得∠AEM＝∠DCE，

∴tan∠AEM＝tan∠DCE，

∴，

∴AM＝，

∵，

∴AN＝，

∴MN＝；

（3）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，

又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，

∴∠AEC＝∠NME，

当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时

①∠ENM＝∠EAC，如图2，

∴∠ANE＝∠EAC，

由（2）得：DE＝；

②∠ENM＝∠ECA，

如图3，

过点E作EH⊥AC，垂足为点H，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，

∴∠ECA＝∠DCE，

∴HE＝DE，

又tan∠HAE＝，

设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，

又AE＋DE＝AD，

∴5x＋3x＝8，

解得x＝1，

∴DE＝3x＝3，

综上所述，DE的长分别为或3．