Question

问题情境:以直线AB上一点O为端点作射线OM、ON，将一个直角三角形的直角顶点放在O处(∠COD=90°).

(1)如图1，直角三角板COD的边OD放在射线OB上，OM平分∠AOC，ON和OB重合，则∠MON=_°；

(2)直角三角板COD绕点O旋转到如图2的位置，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数。

(3)直角三角板COD绕点O旋转到如图3的位置，OM平分∠ AOC ，ON平分∠BOD，猜想∠MON的度数，并说明理由。

Answer

（1）135；

（2）∠MON=135°

（3）猜想∠MON=135°，证明见解析.

【解析】

（1）先求出∠COM=45°，再利用∠MON=∠COM+∠CON即可求出；

（2）先求出∠AOC+∠BOD=90°，再根据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，可知∠COM+∠DON=45°，再利用∠MON=∠COM+∠DON+∠COD即可求出；

（3）如图延长NO至Q、DO至H，则∠DOH为平角，∠COH=90°，根据对顶角相等，知∠BOD=∠AOH，∠NOD=∠QOH，再根据∠COH=∠AOC-∠AOH=90°，又OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，得∠COM-∠QOH=45°，则∠MON=∠COD-∠NOD+∠COM=∠COD+∠COM-∠QOH=90°+45°=135°.

（1）∵∠AOC=90°，OM平分∠AOC，

∴∠COM=45°，

∴∠MON=∠COM+∠CON=45°+90°=135°；

（2）∵∠COD=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠COM+∠DON=（∠AOC+∠BOD）=45°，

∴∠MON=∠COM+∠DON+∠COD=45°+90°=135°；

（3）猜想∠MON=135°，证明如下：

如图延长NO至Q、DO至H，

则∠DOH为平角，∠COH=90°，

∴∠COH=∠AOC-∠AOH=90°，

又∵∠BOD=∠AOH，∠NOD=∠QOH，

OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠COM-∠QOH=45°，

则∠MON=∠COD-∠NOD+∠COM

=∠COD+∠COM-∠QOH

=90°+45°=135°.