Question

如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）设抛物线上的一个动点P的横坐标为t（0＜t＜3），过点P作PD⊥BC于点D. ① 求线段PD的长的最大值；② 当BD=2CD时，求t的值；

（3）若点Q是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点M，使得以B、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点M的坐标.

Answer

(1) y=-x2+2x+3;(2)①;②2;(3) (2,3)或(4,-5)或(-2,-5).

【解析】试题分析: （1）将A、B、C三点的坐标代入y=a（x+1）（x-3）即可求出抛物线的解析式．

（2）①过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，求出△PBC的最大面积，即可求出PD的最大值．

②过点D作DG⊥x轴于点G，由于DG∥OC，从而可知，从而可求出t的值．

（3）由于BC是B、C、Q、M为顶点的四边形中的一条固定的线段，因此将此线段分为平行四边形的边和对角线进行讨论即可求出M的坐标．

试题解析:

（1）设抛物线所对应的函数关系式为

将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得：

解得：

∴抛物线所对应的函数关系式为

（2）①设点P的坐标为（t， ）

过P作PN⊥x轴于点F，交BC于点E

设直线BC解析式为y=kx+b

把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得

解得：k=-1,b=3

∴直线BC解析式为y=-x+3

∴点E坐标为（t， ）

PE=-（）=

∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°

∵PD⊥BC

∴∠PED=45°

∴PD=PE×sin45°=PE=（）=-

∴当t=时，PD的最大面积为

②过D作DG⊥x轴于点G，则DG∥OC

∴△BOC∽△BGD

∴

当BD=2CD时，BD：BC=2：3

∴DG=2，即点D的纵坐标为2

把y=2代入y=-x+3得x=1

∴D点坐标为（1，2）

设直线PD解析式为：y=x+b

把D（1，2）代入上式得：

2=1+b,

解得：b=1

∴直线PD解析式为y=x+1

解方程组得： ， （ 舍去）

∴当BD=2CD时,t的值为2

{或∵△PDE是等腰直角三角形，∴）

即，

解得： ， （ 舍去）}

（3）∵点Q是抛物线的对称轴x=1上的动点，

∴点Q的横坐标为1,

∵点M在抛物线上，∴设点M的坐标为（m， ）

（I）如图，当BC、QM为平行四边形的对角线时，

可得：

即：3=1+m,

∴m=2

∴点M坐标为（2，3）

（II）如图，当BQ、MC为平行四边形的对角线时，

可得：

即：3+1=m,

∴m=4

∴点M坐标为（4，-5）

（III）如图，当BM、QC为平行四边形的对角线时，

可得：

即：3+m=1,

∴m=-2

∴点M坐标为（-2，-5）

综合以上所述，满足平行四边形的点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-2，-5）