Question

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．

Answer

（1）见解析；（2）EF＝3．

【解析】

(1)∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴AD=CD，∴四边形ADCE是菱形.（2）利用含30°的直角三角形的性质求解即可.

（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，

∴AD＝BD＝CD，

∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）【解析】
∵∠B＝60°，AD＝BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，

∵AD∥CE，

∴∠DCE＝60°，

∵CD＝AD＝6，

∴CF＝CD＝3，

∵四边形ADCE是菱形，

∴CE＝CD＝6，

∴EF＝3．