Question

已知二次函数y＝(x－m)²－1（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；

（2）请根据m的不同取值，探索该函数图象过哪些象限?（直接写出答案）

（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3) ﹣1或5.

【解析】

(1)令y=0得到关于x的方程，找出相应的a，b及c的值，表示出b2-4ac，判断出b2-4ac>0，可得出抛物线与x轴总有两个公共点，得证；

(2)由a>0，图象必经过一、二象限，再根据函数图象与x轴的交点情况进行说明；

(3)分m≤1，1＜m＜3，m＞3三种情况分别求m的值.

【解析】
(1)y=(x－m)2－1

y=x2－2mx＋m2－1，令y=0，x2－2mx＋m2-1=0，

∵a=1，b=-2m，c=m2-1，

∴b2－4ac＝4m2－4(m2－1)=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，

∴该函数图象与x轴总有两个公共点；

(2)∵a>0，

∴图象必经过一、二象限，

令y=0，即x2－2mx＋m2-1=0，

解得x1=m-1，x2=m+1，

∴当m+1≤0，即m≤﹣1时，图象过一、二、三象限；

当-1＜m＜1时，图象过一、二、三、四象限；

当m-1>0，m≥1时，图象过一、二、四象限.

(3)∵a=1＞0，图象开口向上，又∵对称轴为直线x=m，

∴当m≤1时，y随x的增大而增大，当x=1时y有最小值3,

即3=(1－m)2－1，解得m1=﹣1，m2=3＞1（舍去）；

当1＜m＜3时，当x=m时，y有最小值﹣1，y的最小值为3不可能；

当m＞3时，y随x增大而减小，当x=3时y有最小值3，

即3=(3－m)2－1，解得m1=1＜3（舍去），m2=5.

答：当1≤x≤3时，y的最小值为3，m的值为-1或5．

故答案为：(1)见解析；(2)见解析；(3)-1或5.