Question

如图，已知抛物线分别交x轴、y轴于点A(2，0)、B(0，4)，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

(1)若．

①求抛物线的解析式；

②当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；

(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) ①y=－2x2+2x+4；②P的坐标是(1，2)； (2)见解析.

【解析】

（1）①把A、B的坐标代入抛物线解析式，由a+b=0，解方程组即可得出结论；

②设直线AB的解析式为，把A的坐标代入即可求出k的值，从而得到直线AB的解析式．设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，－2m2+2m+4），可表示出PD的长，利用二次函数的性质即可得出结论；

（2）如图2，利用勾股定理计算出AB的长，再求出P的坐标，则可计算出PB的长，接着表示出抛物线解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+4，则可用a表示出点D坐标为（1，2﹣a），所以PD＝﹣a，由于∠DPB＝∠OBA，根据相似三角形的判定方法，当时，△PDB∽△BOA，即；当时，△PDB∽△BAO，即，然后解方程分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析式．

（1）①把A（2，0）、B（0，4）代入得：．

∵a+b=0，∴

∴，∴抛物线的解析式为y=－2x2+2x+4；

②设直线AB的解析式为，则，∴，∴直线AB的解析式为．

设P点坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，－2m2+2m+4），∴PD=﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）=﹣2m2+4m，∴当时，线段PD的长度最大，此时点P的坐标是（1，2）．

（2）存在．

如图2，OB=4，OA=2，则AB==2．

当x=1时，y=﹣2x+4=2，则P（1，2），∴PB==．

把A（2，0）代入y=ax2+bx+4得4a+2b+4=0，解得：b=－2a－2，∴抛物线的解析式为y=ax2－2（a+1）x+4．

当x=1时，y=ax2－2（a+1）x+4=a－2a－2+4=2－a，则D（1，2－a），∴PD=2－a－2=﹣a．

∵DC∥OB，∴∠DPB=∠OBA．

当时，△PDB∽△BOA，即，解得：a=－2，此时抛物线解析式为y=－2x2+2x+4；

当时，△PDB∽△BAO，即，解得：a=－，此时抛物线解析式为y=－x2+3x+4．

综上所述：满足条件的抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4或y=－x2+3x+4．