Question

如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．M在AB上，且∠APM＝∠APD，过点B作BN∥MP交DC于点N．

（1）求证：四边形PMBN是菱形；

（2）求证：AD•BC＝DP•PC；

（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F，若DP＝1，AD＝2，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）DP∥AB，所以∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，所以∠PAM＝∠APM，由于∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB，从而可知PM＝MB＝AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；

（2）根据余角的性质得到∠DAP＝∠BPC，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（3）根据矩形的性质得到BC＝AD＝2，求得AB＝CD＝5，根据平行线的性质得到∠APD＝∠PAM，推出AM＝MP，得到AM＝MB＝，根据相似三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，得到，于是得到结论．

（1）证明：在矩形ABCD中，DC∥AB，

∵BN∥MP，

∴四边形PMBN是平行四边形，

∵∠APB＝90°，

∴∠APM+∠BPM＝90°，

∠APD+∠BPC＝90°，

∵∠APM＝∠APD，

∴∠BPM＝∠BPC，

∵DC∥AB，

∴∠BPC＝∠PBM，

∵∠BPM＝∠PBM

∴MP＝MB，

∴平行四边形PMBN是菱形；

（2）证明：在矩形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，

∴∠APD+∠DAP＝90°，

∵∠APD+∠BPC＝90°，

∴∠DAP＝∠BPC，

∴△ADP∽△PCB，

∴，

∴AD•BC＝DP•PC；

（3）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝2，

由（2）得AD•BC＝DP•PC

∴PC＝4，

∴AB＝CD＝5，

在矩形ABCD中，DC∥AB，

∴∠APD＝∠PAM，

∵∠APM＝∠APD，

∴∠PAM＝∠APM，

∴AM＝MP，

由（1）得MP＝MB，

∴AM＝MB＝，

∵DC∥AB，

∴∠PCA＝∠CAB，

∵∠PFC＝∠BFA，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴，

同理可得△PCE∽△MAE，

∴，

∴，

∴EF＝AC﹣CF﹣AE＝AC，

∴．