Question

如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8．点P、Q、R分别在AB、BC、CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，在运动过程中：

（1）当t为何值时，△APR的面积为4；

（2）求出△CRQ的最大面积；

（3）是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）或秒；（2）当t＝1时，S△CQR最大＝6；（3）t的值为1秒或秒．

【解析】

（1）由运动得出AP＝3t，AR＝8﹣4t，最后用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论；

（2）先构造出直角三角形表示出QD，最后用三角形面积公式即可得出结论；

（3）先判断出△BFP∽△BAC，得出FP＝（6﹣3t），BF＝（6﹣3t），进而FQ＝BQ﹣BF＝5t﹣（6﹣3t）＝

同理：EQ＝，RE＝，再判断出△REQ∽△QFP．得出，用RE×FP＝QF×EQ建立方程求解即可得出结论．

（1）由运动知，AP＝3t，CR＝4t，

∴AR＝8﹣4t，

∴S△APR＝AP•AR＝×3t×（8﹣4t）＝12t﹣6t2＝4，

解得t＝或t＝

∴当t为或秒时，△APR的面积为4；

（2）如图1，过点Q作QD⊥AC于D，

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，根据勾股定理得，BC＝10，

∴sinC＝，

由运动知，BQ＝5t，CR＝4t，

∴CQ＝BC﹣BQ＝10﹣5t，

∴在Rt△CDQ中，QD＝CQ•sinC＝（10﹣5t）＝6﹣3t，

∴S△CQR＝CR•QD＝×4t×（6﹣3t）＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6，

∵0≤t≤2，

∴当t＝1时，S△CQR最大＝6；

（3）存在，如图2，过点R作RE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，

由题意知，CR＝4t，BQ＝5t，AP＝3t，

∴BP＝6﹣3t，

∵∠BFP＝∠A＝90°，∠B＝∠B，

∴△BFP∽△BAC，

∴，

∴，

∴FP＝（6﹣3t），BF＝（6﹣3t），

∴FQ＝BQ﹣BF＝5t﹣（6﹣3t）＝

同理：EQ＝，RE＝，

∵∠REQ＝∠QFP＝90°，

∴∠ERQ+∠EQR＝90°，

∵∠PQR＝90°，

∴∠EQR+∠PQF＝90°，

∴∠ERQ＝∠PQF，

∴△REQ∽△QFP．

∴，

∴RE×FP＝QF×EQ，

∴×（6﹣3t）＝×，

解得，t＝1或t＝

∴t的值为1秒或秒．