Question

如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上.有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE=∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE=∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E(不与点A，C重合) ，∠DCE=∠ABO +∠AEO均成立.上述结论中，所有正确结论的序号是（  ）

A. ①②③    B. ①③④    C. ②④    D. ①②③④

Answer

D

【解析】

①当BE是⊙O的直径时，根据圆周角定理和邻补角的定义得到结论；②当AE∥BC时，得到弧AB=弧CE，根据圆周角定理得到结论；③当点E是弧AC的中点时，根据角平分线的定义得到结论；④根据圆内接四边形的性质和四边形的内角和得到结论．

【解析】

①当BE是⊙O的直径时，∠BCE=∠DCE=90°，故①正确；
②当AE∥BC时，弧AB=弧CE，
∴弧BCE=弧ABC，
∴∠BAE=∠AEC；故②正确；
③当点E是弧AC的中点时，EO平分∠AEC；故正确；
④如图2，∵∠A=∠ECD，∠A+ ∠BOE=180°，
∴∠ABO+∠AEO=360°-∠A-∠BOE=360°-∠DCE-2（180°-∠COE），
∴∠DCE=∠ABO+∠AEO，故正确；

故选：D．