Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．

（1）请直接写出点C的坐标及k的值；

（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．

Answer

(1)点C的坐标（4，1），k的值是4； (2) P（2，）；(3)

【解析】

（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，利用旋转的性质得BA=BC，∠ABC=90°，再证明△ABO≌△BCH得到CH=OB=1，BH=OA=3，则C（4，1），然后把C点坐标代入y=(x＞0)中可计算出k的值；
（2）画出过点C的反比例函数y=(x＞0)的草图，结合条件点P在图象G上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）由Q（0，m），得到OQ=m，得到M（，m），N（3m，m），根据 点M在点N左侧，列不等式即可得到结论．

【解析】
(1) 过C点作CH⊥x轴于H，如图，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABO+∠CBH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBH，
在△ABO和△BCH中

∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH=OB=1，BH=OA=3，
∴C（4，1），
∵点C落在函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=4×1=4；

故答案为：点C的坐标（4，1），k的值是4

(2)过O作OP∥BC交于点P，过P作PE⊥x轴于E，
∵∠POE=∠OAB，∠AOB=∠PEO，

∴△OAB∽△OHP，
∴PE：OE=OB：OA=1：3，∵点P在 上

∴

∴P（2，）

(3) ，理由：

∵Q（0，m），

∴OQ=m，
∵QM∥x轴，与图象G交于点M，与直线OP交于点N，
∴M（，m），N（3m，m），
∵点M在点N左侧，
∴＜3m，
∵m＞0，
∴m＞．