Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE^，，CA^，，过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE^，，CA^，于点F，G.

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明．

Answer

（1）补全的图形如图所示见解析；(2)∠AFC =α+45°；（3）AE，AF与BC之间的数量关系为 .证明见解析.

【解析】

（1）利用旋转的性质进而得出对应点位置进而得出答案；（2）根据旋转得出∠ECF=∠ACG=90°，∠FCG=∠ACE=α，最后用三角形的外角的性质即可得出结论；（3）借助（2）的结论判断出△ACE≌△GCF（ASA），得出AE=FG，再用勾股定理得出AG=

AC，AC=BC，即可得出结论．

（1）补全的图形如图所示.

(2)【解析】
由题意可知，∠ECF=∠ACG=90°

∴∠FCG=∠ACE=α

∵过点A作AB的垂线AD

∴∠BAD=90°

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ACB=∠CAD= 45°

∵∠ACG=90°

∴∠AGC=45°

∴∠AFC =α+45°

（3）AE，AF与BC之间的数量关系为

证明：由（2）可知∠DAC=∠AGC=45°

∴CA=CG

∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF

∴△ACE ≌△GCF

∴AE =FG.

在Rt△ACG中，

∴

∴

∵

∴