Question

如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.

(1)求证：AD＝AN；

(2)若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；

（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1

连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．

试题解析：

(1)证明:∵CD⊥AB

∴∠CEB=90º

∴∠C+∠B=90º.

同理∠C+∠CNM=90º

∴∠CNM=∠B.

∵∠CNM=∠AND

∴∠AND=∠B

∵弧AC=弧AC

∴∠D=∠B

∴∠AND=∠D

∴AN=AD

(2)解:设ON的长为,连接OA

∵AN=AD,CD⊥AB

∴DE=NE=

∴OD=OE+ED=

∴OA=OD.

∴在Rt△OAE中

∴

解得或(不合题意,舍去).

∴OA.

即⊙O的半径为.