Question

如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=米．

(1)求此圆形门洞的半径；

(2)求要打掉墙体的面积．

Answer

(1)圆形门洞的半径为；(2)要打掉墙体的面积为（π﹣）平方米 ．

【解析】

（1）先证得BC是直径，在直角三角形BCD中，由BD与CD的长，利用勾股定理求出BC的长，即可求得半径；

（2）打掉墙体的面积=2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．

（1）连结AD、BC．

∵∠BDC=90°，∴BC是直径，∴BC==，∴圆形门洞的半径为．

（2）取圆心O，连结OA．由上题可知，OA=OB=AB=，∴△AOB是正三角形，∴∠AOB=60°，∠AOC=120°，∴S△AOB=，S△AOC=，∴S=2（S扇形OAC﹣S△AOC）+S扇形OAB﹣S△AOB=2（﹣）+（﹣）=π﹣，∴打掉墙体面积为（π﹣）平方米．