Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；

（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）CD=3

【解析】

试题（1）根据圆周角定理，由 弧AD=弧BD可得∠BAD＝∠ACD，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；

（2）先证明△DCE∽△ACD，再根据相似三角形的性质列比例式求解.

证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，

∵∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，

∵＝，∴∠BAD＝∠ACD，

∴∠DCE＝∠ACD，

∴CD平分∠ACE．

（2）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，

∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠ADC…

∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，

∴=，即=，

∴CD=3