Question

如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．
（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．

（1）证明：∵⊙O切BC于D，

∴OD⊥BC，

∵AC⊥BC，

∴AC∥OD，

∴∠CAD＝∠ADO，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∴∠OAD＝∠CAD，

即AD平分∠CAB；

（2）设EO与AD交于点M，连接ED．

∵∠BAC＝60°，OA＝OE，

∴△AEO是等边三角形，

∴AE＝OA，∠AOE＝60°，

∴AE＝AO＝OD，

又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，

∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，

∴S△AEM＝S△DMO，

∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．