Question

如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得：，，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；
（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+ （180-3x）=180，求出x的值，接着求所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论．

（1）证明：∵，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵CD∥AB，

∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴CB＝CD，

∵BE是⊙O的直径，

∴，

∴AB＝BC＝CD，

∵CD∥AB，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵∠AOF＝3∠FOE，

设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，

∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA＝（180﹣3x）°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝2x，

∴∠ABC＝4x，

∵BC∥AD，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴4x+2x+（180﹣3x）＝180，

x＝20°，

∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，

∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴OF＝AF＝3，

∴的长＝＝．