Question

如图，射线AM∥BN，点E，F，D在射线AM上，点C在射线BN上，且∠BCD＝∠A，BE平分∠ABF，BD平分∠FBC.

(1)求证：AB∥CD.

(2)如果平行移动CD，那么∠AFB与∠ADB的比值是否发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这两个角的比值．

(3)如果∠A＝100°，那么在平行移动CD的过程中，是否存在某一时刻，使∠AEB＝∠BDC？若存在，求出此时∠AEB的度数；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）不变,理由见解析；（3）存在,60°

【解析】

（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠A+∠ABC=180°，然后可证得AB∥CD；
（2）根据三角形外角的性质可直接得出结论；
（3）根据平行线的性质得到∠ABC=80°，设∠CBD=∠FBD=∠FDB=x°，根据角平分线的性质得到∠EBD=40°，于是得到∠AEB=x°+40°．得到∠BDC=80°-x°，根据∠AFC=∠ADB，列方程即可得到结论．

（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABC=180°，
又∵∠BCD=∠A，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；

（2）∵AM∥BN，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠FBC，∴∠FBD=∠DBC，
∴∠FBD=∠FDB，
当CD向右平移时，∠FBD增大，∠ABC不变，
∵∠FBD=∠FDB，∠BFA=∠FBD+∠FDB，∴∠AFB：∠ADB=2：1；
（3）存在，
理由：∵∠A=100°，∴∠ABC=80°，
设∠CBD=∠FBD=∠FDB=x°，
∵BE平分∠ABF，BD平分∠FBC，
∴∠EBD=40°
∴∠AEB=x°+40°．
∵AM∥BN，∠BCD=100°，
∴∠CDA=80°，
∴∠BDC=80°-x°，
∵∠AEB=∠BDC，
∴x°+40°=80°-x°，解得x=20°，
∴∠AEB=20°+40°=60°．