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如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,...

如图,AB⊙O的弦,OP⊥OAAB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB

1)求证:BC⊙O的切线;

2)若⊙O的半径为OP=1,求BC的长.

 

(1)证明见解析;(2)2. 【解析】 试题(1)、连接OB,根据OP⊥OA,CP=CB得出∠CPB=∠APO,根据OA=OB得出∠A=∠OBA,然后根据∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°得出切线;(2)、设BC=x,则PC=x,OC=x+1,然后根据Rt△OBC的勾股定理求出x的值,从而得出BC的长度. 试题解析:(1)、连结OB,如图, ∵OP⊥OA, ∴∠AOP=90°, ∴∠A+∠APO=90°, ∵CP=CB, ∴∠CBP=∠CPB, 而∠CPB=∠APO, ∴∠APO=∠CBP, ∵OA=OB, ∴∠A=∠OBA, ∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°, ∴OB⊥BC, ∴BC是⊙O的切线; (2)、设BC=x,则PC=x, 在Rt△OBC中,OB=,OC=CP+OP=x+1, ∵OB2+BC2=OC2, ∴()2+x2=(x+1)2, 解得x=2, 即BC的长为2.
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