Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，以AD为直径作⊙O交AC于E，与BC相切于点F，连接AF．

（1）求证：∠BAF=∠CAF；

（2）若AC=6，BC=8，求BD和CE的长；

（3）在（2）的条件下，若AF与DE交于H，求FH•FA的值．（直接写出结果即可）

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连结OF，如图，根据切线的性质得OF⊥BC，则易得OF∥AC，所以∠OFA=∠CAF，加上∠OAF=∠OFA，则∠BAF=∠CAF；
（2）设⊙O的半径为r，OF与DE交于点P，如图，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=10，再证明△BOF∽△BAC，利用相似比计算出r=，则BD=BA-AD=；接着根据圆周角定理由AD为⊙O的直径得到∠AED=90°，易得DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可计算出CE=；
（3）根据平行线分线段成比例定理，由OF∥AC，，则可计算出CF=3，再在Rt△ACF中，利用勾股定理计算出AF=3，然后利用HE∥CF得到，可计算出FH=，最后计算FH•FA的值．

解答：（1）证明：连结OF，如图，
∵⊙O与BC相切于点F，
∴OF⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴OF∥AC，
∴∠OFA=∠CAF，
而OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠BAF=∠CAF；

（2）【解析】
设⊙O的半径为r，OF与DE交于点P，如图，
在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵OF∥AC，
∴△BOF∽△BAC，
∴=，即

=，解得r=，
∴BD=BA-AD=10-2×=，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
而∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴=，即

=，
∴CE=；
（3）【解析】
∵OF∥AC，
∴=，即=，解得CF=3，
在Rt△ACF中，AF==3，
∵HE∥CF，
∴=，即=，
∴FH=，
∴FH•FA=•3=．