Question

如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F．连接EF、AC，DE、EF分别与C交于点P、Q，则PQ＝_____．

Answer

【解析】

过点E作EM∥AB，交AC于点M，由题意可证ME∥AB∥CD，△ADF≌△CDE，可得AF＝CE＝ME，根据平行线分线段成比例可得，，，即可求PQ的长．

如图，过点E作EM∥AB，交AC于点M，

∵四边形ABCD是正方形

∴AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠DAB＝∠DCE＝90°，∠ACE＝45°，AB∥CD，

∴∠CDE+∠ADE＝90°，AC＝4

∵DF⊥DE，

∴∠FDA+∠ADE＝90°

∴∠CDE＝∠FDA，且∠DAF＝∠DCE＝90°，AD＝CD，

∴△ADF≌△CDE（AAS）

∴AF＝CE，

∵点E是BC中点，

∴CE＝BE＝BC＝AF，

∵ME∥CD

∴∠DCE＝∠MEB＝90°，且∠ACB＝45°

∴∠CME＝∠ACB＝45°，

∴ME＝CE＝BC，

∵ME∥AB，AB∥CD，

∴ME∥AB∥CD，

∴，，，

∴MQ＝AQ，AM＝CM＝2，CP＝2MP，

∴MQ＝，MP＝

∴PQ＝MQ+MP＝