Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y＝k₁x+2与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA＝OB，直线l₂：y＝k₂x+b经过点C（1，﹣），与x轴、y轴和线段AB分别交于点E、F、D三点．

（1）求直线l₁的解析式；

（2）如图①：若EC＝ED，求点D的坐标和△BFD的面积；

（3）如图②：在坐标轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）D（3，），面积为6；（3）存在，满足条件的点P坐标为（0，4﹣6）或（2，0），理由见解析

【解析】

（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．由△CME≌△DNE（AAS），推出CM＝DN由C（1，﹣），可得CM＝DN＝，再利用待定系数法即可解决问题；

（3）分点P在y轴或x轴两种情形分别求解即可解决问题；

【解析】
（1）∵直线y＝k1x+2与y轴B点，

∴B（0，2），

∴OB＝2，

∵OA＝OB＝6，

∴A（6，0），

把A（6，0）代入y＝k1x+2得到，k1＝﹣，

∴直线l1的解析式为y＝﹣x+2．

（2）如图1中，作CM⊥OA于M，DN⊥CA于N．

∵∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEC＝∠NED，EC＝DE，

∴△CME≌△DNE（AAS），

∴CM＝DN

∵C（1，﹣），

∴CM＝DN＝，

当y＝时，＝﹣x+2，

解得x＝3，

∴D（3，），

把C（1，﹣），D（3，）代入y＝k2x+b，得到，

解得，

∴直线CD的解析式为y＝x﹣2，

∴F（0，﹣2），

∴S△BFD＝×4×3＝6．

（3）①如图③﹣1中，当PC＝PD，∠CPD＝90°时，作DM⊥OB于M，CN⊥y轴于N．设P（0，m）．

∵∠DMP＝∠CNP＝∠CPD＝90°，

∴∠CPN+∠PCN＝90°，∠CPN+∠DPM＝90°，

∴∠PCN＝∠DPM，

∵PD＝PC，

∴△DMP≌△NPC（AAS），

∴CN＝PM＝1，PN＝DM＝m+，

∴D（m+，m+1），

把D点坐标代入y＝﹣x+2，得到：m+1＝﹣（m+）+2，

解得m＝4﹣6，

∴P（0，4﹣6）．

②如图③﹣2中，当PC＝PC，∠CPD＝90时，作DM⊥OA于M，CN⊥OA于N．设P（n，0）．

同法可证：△AMD≌△PNC，

∴PM＝CN＝，DM＝PN＝n﹣1，

∴D（n﹣，n﹣1），

把D点坐标代入y＝﹣x+2，得到：n﹣1＝﹣（n﹣）+2，

解得n＝2

∴P（2，0）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（0，4﹣6）或（2，0）