Question

将一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在△AOB中，∠A=60°，∠B=30°，∠AOB=90°；在△COD中，∠C=∠D=45°，∠COD=90°．

（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC=45°时，①试说明CO平分∠AOB； ②试说明OA∥CD（要求书写过程）；

（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AOB，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC=45°是否成立，并说明理由．

Answer

（1）①证明见解析，②证明见解析；（2）成立，理由见解析

【解析】

（1）①当∠AOC=45°时，根据条件可求得∠COB=45°可说明CO平分∠AOB；②设CD、OB交于点E，则可知OE=CE，可证得OB⊥CD，结合条件可证明OA∥CD；

（2）由平行可得到∠D=∠BOD=45°，则可得到∠AOD=45°，可得到结论．

【解析】
【解析】
（1）①∵∠AOB=90°，∠AOC=45°，

∴∠COB=90°﹣45°=45°，

∴∠AOC=∠COB，

即OC平分∠AOB；

②如图，设CD、OB交于点E，

∵∠C=45°，

∴∠C=∠COB，

∴∠CEO=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOB+∠OEC=180°，

∴AO∥CD；

（2）∠AOC=45°，理由如下：

∵CD∥OB，

∴∠DOB=∠D=45°，

∴∠AOD=90°﹣∠DOB=45°，

∴∠AOC=90°﹣∠AOD=45°．