Question

如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

（1）求证：AB=AD；

（2）求证：CD平分∠ACE．

（3）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠BDC=∠BAC，证明见解析

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；（2）根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．

证明：

（1）  AD∥BE

∠2= ∠5

AD平分∠GBE

∠2= ∠1

∠1= ∠5 , AB= AD

（2）    AB= AD    AB= AC AC= AD

∠3= ∠ADC

又AD∥BE ∠ADC= ∠4

∠3= ∠4

CD平分∠ACE

（3）∠BDC= ∠BAC

证明：BD平分∠ABE

∴∠2= ∠1 = ∠ABC

根据三角形外角性质得：

∠1+ ∠2+ ∠BAC=∠4 +∠3①

①式两边除以2得∠BAC=∠4-∠2

而由∠2+ ∠6 =∠4 得出∠6 =∠4 -∠2 即∠BDC=∠4 -∠2

∠BDC=∠BAC