Question

(12分)如图，已知抛物线y＝ax²+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2，3)，B(﹣4，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求△BMC面积的最大值；

(3)在(2)中△BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝x2+x﹣2；（2）S△BMC最大值为4；（3）存在；点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

【解析】

（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）首先求出三边形BMC面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；

（3）设点Q坐标为（﹣2，m）．先求出sin∠QHN的值，然后求出直线AC的表达式，从而得出点H的坐标．解Rt△QNH得出m的值．即可得到结论．

（1）将D（2，3）、B（﹣4，0）的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的解析式为：yx2x﹣2．

（2）过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K．

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=k′x+b′得：，解得：，则直线BC的表达式为：．

设点M的坐标为（x，），则点K（x，），S△BMC=•MK•OB=2（）=﹣x2﹣4x．

∵a=﹣1＜0，∴S△BMC有最大值，当x==﹣2时，S△BMC最大值为4，点M的坐标为（﹣2，﹣3）；

（3）如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H．

点M坐标为（﹣2，﹣3），设：点Q坐标为（﹣2，m），点A、C的坐标为（1，0）、（0，﹣2），tan∠OCA=．

∵QH∥y轴，∴∠QHN=∠OCA，∴tan∠QHN=，则sin∠QHN=．

将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n得：，则直线AC的表达式为：y=2x﹣2，则点H（﹣2，﹣6）．

在Rt△QNH中，QH=m+6，QN=OQ==，sin∠QHN= ，解得：m=4或﹣1．

即点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．