Question

如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边AC，AB分别切于C、D两点，与边AC交于点E，弦与AB平行，与DO的延长线交于M点．

（1）求证：点M是CF的中点；

（2）若E是的中点，连结DF，DC，试判断△DCF的形状；

（3）在（2）的条件下，若BC=a，求AE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）△DFC是等边三角形，详见解析；（3）AE= a．

【解析】

（1）根据垂径定理可知，只要证明OM⊥CF即可解决问题；
（2）结论：△DFC是等边三角形．由点M是CF中点，DM⊥CF，推出DE=DF，由E是中点，推出DC=CF，推出DC=CF=DF，即可；
（3）只要证明△BCD是等边三角形，即可推出∠B=60°，∠A=30°，在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，可得OC=OD=a，OA=a，由此即可解决问题.

（1）证明：∵AB是⊙O的切线，

∴OD⊥AB，

∴∠ODB=90°，

∵CF∥AB，

∴∠OMF=∠ODB=90°，

∴OM⊥CF，

∴CM=MF．

（2）【解析】
结论：△DFC是等边三角形．

理由：∵点M是CF中点，DM⊥CF，

∴DE=DF，

∵E是中点，

∴DC=CF，

∴DC=CF=DF，

∴△DCF是等边三角形．

（3）【解析】
∵BC、BD是切线，

∴BC=BD，

∵CE垂直平分DF，

∴∠DCA=30°，∠DCB=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠B=60°，∠A=30°，

在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，

∴OC=OD=a，OA=a，

∴AE=OA﹣OC=a．