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在▱ABCD中,点B关于AD的对称点为B′,连接AB′,CB′,CB′交AD于F...

在▱ABCD中,点B关于AD的对称点为B′,连接AB′CB′CB′ADF点.

1)如图1,∠ABC=90°,求证:FCB′的中点;

2)小宇通过观察、实验、提出猜想:如图2,在点B绕点A旋转的过程中,点F始终为CB′的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:

想法1:过点B′B′GCDADG点,只需证三角形全等;

想法2:连接BB′ADH点,只需证HBB′的中点;

想法3:连接BB′BF,只需证∠B′BC=90°

请你参考上面的想法,证明FCB′的中点.(一种方法即可)

3)如图3,当∠ABC=135°时,AB′CD的延长线相交于点E,求的值.

 

(1)详见解析;(2)详见解析;(3). 【解析】 (1)证明:根据已知条件得到▱ABCD为矩形,AB=CD,根据矩形的性质得到∠D=∠BAD=90°,根据全等三角形的性质即可得到结论; (2)方法1:如图2,过点B′作B′G∥CD交AD于点G,由轴对称的性质得到∠1=∠2,AB=AB′,根据平行线的性质得到∠2=∠3,∠1=∠3,根据平行线的性质得到∠4=∠D,根据全等三角形的性质即可得到结论;方法2:连接BB′交直线AD于H点,根据线段垂直平分线的性质得到B′H=HB,由平行线分线段成比例定理得到结论;方法3:连接BB′,BF,根据轴对称的性质得到AD是线段B′B的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质得到B′F=FB,得到∠1=∠2,由平行线的性质得到∠B′BC=90°,根据余角的性质得到∠3=∠4,于是得到结论; (3)取B′E的中点G,连结GF,由(2)得,F为CB′的中点,根据平行线的性质得到∠BAD=180°-∠ABC=45°,由对称性的性质得到∠EAD=∠BAD=45°,根据平行线的性质得到∠GFA=∠FAB=45°,根据三角函数的定义即可得到结论. (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°, ∴□ABCD为矩形,AB=CD, ∴∠D=∠BAD=90°, ∵B,B′关于AD对称, ∴∠B′AD=∠BAD=90°,AB=AB′, ∴∠B′AD=∠D, ∵∠AFB′=∠CFD, 在△AFB′与△CFD中,, ∴△AFB′≌△CFD(AAS), ∴FB′=FC, ∴F是CB′的中点; (2)证明: 方法1:如图2,过点B′作B′G∥CD交AD于点G, ∵B,B′关于AD对称, ∴∠1=∠2,AB=AB′, ∵B′G∥CD,AB∥CD, ∴B′G∥AB. ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3, ∴B′A=B′G, ∵AB=CD,AB=AB′, ∴B′G=CD, ∵B′G∥CD, ∴∠4=∠D, ∵∠B′FG=∠CFD, 在△B′FG与△CFD中, ∴△B′FG≌△CFD(AAS), ∴FB′=FC, ∴F是CB′的中点; 方法2:连接BB′交直线AD于H点, ∵B,B′关于AD对称, ∴AD是线段B′B的垂直平分线, ∴B′H=HB, ∵AD∥BC, ∴=1, ∴FB′=FC. ∴F是CB′的中点; 方法3:连接BB′,BF, ∵B,B′关于AD对称, ∴AD是线段B′B的垂直平分线, ∴B′F=FB, ∴∠1=∠2, ∵AD∥BC, ∴B′B⊥BC, ∴∠B′BC=90°, ∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°, ∴∠3=∠4, ∴FB=FC, ∴B′F=FB=FC, ∴F是CB′的中点; (3)【解析】 取B′E的中点G,连结GF, ∵由(2)得,F为CB′的中点, ∴FG∥CE,FG=CE, ∵∠ABC=135°,□ABCD中,AD∥BC, ∴∠BAD=180°﹣∠ABC=45°, ∴由对称性,∠EAD=∠BAD=45°, ∵FG∥CE,AB∥CD, ∴FG∥AB, ∴∠GFA=∠FAB=45°, ∴∠FGA=90°,GA=GF, ∴FG=sin∠EAD•AF=AF, ∴由①,②可得.
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考点分析:
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