Question

已知抛物线l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．

（1）如图，抛物线y=x²﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是　   　，衍生直线的解析式是　   　；

（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x²+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；

（3）如图，设（1）中的抛物线y=x²﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；

（3）存在，P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．

【解析】

（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．

（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．

本题解析：

（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），

∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，

∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），

∴﹣4=a•1﹣3，

解得 a=﹣1，

∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．

设衍生直线为y=kx+b，

∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），

∴，

∴，

∴衍生直线为y=﹣x﹣3．

（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，

∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，

解得 或，

∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），

∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．

设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，

∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），

∴1=a（0﹣1）2﹣1，

解得 a=2，

∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．

（3）∵N（0，﹣3），

∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，

∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．

设点P坐标为（x，﹣2），

∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，

OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，

MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．

①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，

解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．

②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，

解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，

解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．

综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．