Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，ME⊥AB交AC于点D，交BC的延长线于点E，求证：CM²＝MD•ME．

Answer

证明见解析.

【解析】

根据直角三角形的性质可以求出∠E=∠A，AM=CM，就可以求出∠E=∠MCD，就可以求出△CMD∽△EMC，由此即可解决问题．

证明：(1)∵EM⊥AB，

∴∠BMD＝90°，

∴∠B+∠E＝90°．

∵∠BCA＝90°，

∴∠B+∠A＝90°，

∴∠E＝∠A．

∵M是BC的中点，

∴AM＝MB＝AB，

∴∠MCA＝∠A．

∴∠MCD＝∠E．

∵∠CMD＝∠EMC，

∴△CMD∽△EMC，

∴＝，

∴CM2＝MD•ME.