Question

如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，

(1)若BK＝KC，求的值；

(2)联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；

(3)试探究：当BE平分∠ABC，且AE＝AD(n＞2)时，线段AB、BC，CD三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

Answer

(1)；(2)AB＝BC+CD；(3)AB＝BC+CD．

【解析】

（1）根据比例的性质得到，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，根据三角形的中位线定理得到GF=CD，EF=AB，根据平行线的性质、角平分线的定义得到EG=BC，即可得到答案；
（3）连接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，根据比例的性质、仿照（2）的作法解答即可．

【解析】
(1)∵BK＝KC，

∴＝，

∵AB∥CD，

∴△CKD∽△BKA，

∴＝＝；

(2)猜想：AB＝BC+CD．

证明：连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，

由中位线定理，得EF∥AB∥CD，

∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，

又∵∠EBA＝∠GBE，

∴∠GEB＝∠GBE，

∴EG＝BG＝BC，而GF＝CD，EF＝AB，

∵EF＝EG+GF，

即：AB＝BC+CD；

∴AB＝BC+CD；

(3)猜想：AB＝BC+CD．

证明：连接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，

∵AE＝AD，

∴＝，

∵EF∥AB，

∴＝＝，即EF＝AB，

∵EF∥AB，AB∥CD，

∴EF∥CD，

同理，BG＝BC，GF＝CD，

∵EF＝EG+GF，

即：AB＝BC+CD；

∴AB＝BC+CD．

故答案为：(1)；(2)AB＝BC+CD；(3)AB＝BC+CD．