Question

如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（    ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

B

【解析】

作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM，再根据角平分线的判定定理可得PB平分∠ABC，即可判定①；证明△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由此即可判定②；在Rt△PBN中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.

如图，作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．

∵∠PAH=∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，

∴PN=PH，同理PM=PH，

∴PN=PM，

∴PB平分∠ABC，

∴∠ABP=∠ABC=30°，故①正确，

∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，

，

∴△PAN≌△PAH，同理可证，△PCM≌△PCH，

∴∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，

∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，

∴∠APC=∠MPN=60°，故②正确，

在Rt△PBN中，∵∠PBN=30°，

∴PB=2PN=2PH，故③正确，

∵∠BPN=∠CPA=60°，

∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正确．

综上，正确的结论为①②③④.

故选D.