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如图,△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分...

如图,△ABC中,PQ分别是BCAC上的点,作PR⊥ABPS⊥AC,垂足分别是RS,若AQ=PQPR=PS,下面四个结论:①AS=AR②QP∥AR③△BRP≌△QSP④AP垂直平分RS.其中正确结论的序号是     (请将所有正确结论的序号都填上).

 

①②③④ 【解析】 根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP//AB即可;在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,无法判断△BRP≌△QSP;连接RS,与AP交于点D,先证△ARD≌△ASD,则RD=SD,∠ADR=∠ADS=90°. ①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS, ∴点P在∠A的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°, ∴∠SAP=∠RAP, 在Rt△ARP和Rt△ASP中, , ∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL), ∴AR=AS,∴①正确; ②∵AQ=QP, ∴∠QAP=∠QPA, ∵∠QAP=∠BAP, ∴∠QPA=∠BAP, ∴QP//AR,∴②正确; ③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS, 不满足三角形全等的条件,故③错误; ④如图,连接RS,与AP交于点D, 在△ARD和△ASD中, , ∴△ARD≌△ASD, ∴RD=SD,∠ADR=∠ADS=90°, 所以AP垂直平分RS,故④正确, 故答案为:①②④.
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