Question

如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是     （请将所有正确结论的序号都填上）．

Answer

①②③④

【解析】

根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP//AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，无法判断△BRP≌△QSP；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，则RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．

①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，

∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，

∴∠SAP=∠RAP，

在Rt△ARP和Rt△ASP中，

，

∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，

∴AR=AS，∴①正确；

②∵AQ=QP，

∴∠QAP=∠QPA，

∵∠QAP=∠BAP，

∴∠QPA=∠BAP，

∴QP//AR，∴②正确；

③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，

不满足三角形全等的条件，故③错误；

④如图，连接RS，与AP交于点D，

在△ARD和△ASD中，

，

∴△ARD≌△ASD，

∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°，

所以AP垂直平分RS，故④正确，

故答案为：①②④．