Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）求证：AB+AD=2AE.

Answer

详见解析

【解析】

（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.

（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∴△BCE≌△DCF；

（2）【解析】
∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠F=∠CEA=90°，

在Rt△FAC和Rt△EAC中，，

∴Rt△FAC≌Rt△EAC，

∴AF=AE，

∵△BCE≌△DCF，

∴BE=DF，

∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.