Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．

（1）求证：△BCD是等腰三角形；

（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）.

Answer

（1）见解析；（2）a﹣b+b+b=a+b．

【解析】

（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；

（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a-2b，由AB=AC，可得CD=a-3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a-3b+b+b=a-b．

（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB==72°.

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=DC，

∴∠ACD=∠A=36°.

∵∠CDB是△ADC的外角，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，

∴∠B=∠CDB，

∴CB=CD，

∴△BCD是等腰三角形.

（2）∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，

∴AB=a﹣2b.

∵AB=AC，

∴CD=a﹣3b，

∴△BCD的周长长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．