Question

已知，在▱ABCD中，连结对角线AC，∠CAD平分线AF交CD于点F，∠ACD平分线CG交AD于点G，AF，CG交于点O，点E为BC上一点，且∠BAE＝∠GCD.

(1)如图1，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求▱ABCD的面积；

(2)如图2，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，求证：CE＋2OF＝AC.

Answer

（1） ；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据平行四边形ABCD的面积＝2•S△ACD，求出△ACD的面积即可．

（2）如图2中，延长OF到M，使得FM＝OF，连接CM．只要证明AC＝AM，OA＝AG＝CE即可解决问题．

【解析】
(1)∵△ACD是等边三角形，∴AC＝CD＝AD，

∠ACD＝∠D＝∠CAD＝60°，∵∠OAC＝∠OCA＝30°，

∴OA＝OC＝2，∵CG平分∠ACD，∴CG⊥AD,

在Rt∠AOG中，∵∠OAG＝30°，OA＝2，∴OG＝OA＝1，

AG＝，∴AD＝2AG＝2，∴S△ACD＝AD·CG＝3.

∴平行四边形ABCD的面积＝2·S△ACD＝6

(2)延长OF到M，使得FM＝OF，连结CM.

∵△ACD是等腰直角三角形，AF，CG是角平分线，∴AF⊥CF，

∠OAC＝∠D＝∠ACD＝45°，∠OCA＝∠DCG＝22.5°，

∴∠COF＝∠OAC＋∠OCA＝67.5°，∠AGC＝∠D＋∠GCD＝67.5°，

∴∠AOG＝∠AGO，∴OA＝AG，∵CF⊥OM，OF＝FM，∴CO＝CM，

∴∠M＝∠COM＝67.5°，∴∠ACM＝180°－∠CAM－∠M＝67.5°，

∴∠ACM＝∠M，∴CA＝AM，∵∠BAE＝∠GCD＝22.5°，AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD＝45°，∴∠EAC＝∠ACG＝22.5°，∴AE∥CG，

∵EC∥AG，∴四边形AECG是平行四边形，∴CE＝AG＝OA，

∴AC＝AM＝OA＋OM＝CE＋2OF