Question

如图，二次函数的图像经过点,与轴交于点,、分别为轴、直线上的动点,当四边形的周长最小时,所在直线对应的函数表达式是(     )

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】

利用对称性和两点之间线段最短,作出辅助线,将A代入求出函数解析式,进而求出G(3,4),B(0,1),H（0,-1）,待定系数法即可求出直线解析式.

【解析】
如下图,取A关于抛物线的对称轴的对应点G,B关于x轴的对称点H,连接HG,与抛物线的对称轴交于点D,与x轴的交点为点C,连接AD,CD,BC,

利用对称的性质可知DA=DG,CB=CH,

∵两点之间线段最短,并且此时H,C,D,G四点共线,

∴此时的四边形ABCD是周长最小的,

将代入中得,a=1,

∴抛物线的解析式为,

∴抛物线的对称轴为直线x=1,

∴G(3,4),B(0,1),H（0,-1）

设直线CD的解析式为y=kx+b,(k0)

代入G(3,4), H（0,-1）得

解得： ,

∴直线CD的解析式为

故选D.