Question

如图，、是以为直径的半圆的两条切线，与半圆交于点，连接，过点作，交于点.

(1)若弧AE的度数为140º，求的度数;

(2)求证: .

Answer

（1）∠D=70°,

（2）见详解.

【解析】

（1）连接OE,利用切线证明∠DBA=∠CAB=90°,根据已知得∠AOE=140°,在直角三角形ABD中即可解题；（2）利用同角的余角相等证明∠CEA=∠FEB, ∠CAE=∠EBA即可证明三角形相似.

【解析】
（1）设圆的圆心为点O,连接OE（作图略）,

∵、是以为直径的半圆的两条切线，

∴∠DBA=∠CAB=90°,

∵弧AE的度数为140º，即∠AOE=140°,

∵OA=OE,

∴∠EAO=20°,

在直角三角形ABD中,∠D=70°,

（2）∵AB为直径,

∴∠AEB=90°,（直径所对圆周角是90°）

∵,

∴∠CEF=90°,

∴∠CEA=∠FEB（同角的余角相等）

又∵∠CAE+∠EAF=∠EBA+∠EAF

∴∠CAE=∠EBA（同角的余角相等）

∴(有两个角对应相等的三角形是相似三角形)