Question

如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点，且.

(1)求线段的长度:

(2)若点在抛物线上，点位于第二象限，过作，垂足为.已知，求点的坐标.

Answer

（1）AC=4

（2）P（-1,4）或（-2,3）.

【解析】

（1）求出B点坐标,再利用OA=OB求出A点坐标,代入二次函数求出解析式,再令y=0即可求出与x轴的交点坐标,进而即可解题；（2）作PF∥x轴于F,利用∠BAO=45°,证明三角形PQF是等腰直角三角形,求出PF=2,再设出P,F的坐标,代入直线解析式求解方程即可解题.

【解析】
（1）由可知二次函数与y轴的交点为B（0,3）

∵OA=OB,

∴A（-3,0）,

将A点代入二次函数解析式得：b=-2,即二次函数解析式为,

令y=0,即解得：x1=-3,x2=1,

∴C（1,0）

∴AC=4,

（2）过点P作PF∥x轴于F,

由A,B坐标可得直线AB的解析式为y=x+3,

∴∠BAO=45°,

又∵, PF∥x轴

∴三角形PQF是等腰直角三角形,

设P(a,b),

∵P在抛物线上,

∴b=-a2-2a+3,

∵

∴PF=2（勾股定理）,

∴F（a+2, -a2-2a+3）

将F代入y=x+3,即-a2-2a+3=a+5,

解得a1=-1,a2=-2,

∴P（-1,4）或（-2,3）.