Question

如图①，在中，，cm，动点以2cm/s的速度在的边上沿的方向匀速运动，动点在的边上沿的方向匀速运动，、两点同时出发，5s后，点到达终点，点立即停止运动(此时点尚未到达点).设点运动的时间为(s)，的面积为(cm²)，与的函数图像如图②所示.

  (1)图①中        cm，点运动的速度为        cm/s;

  (2)求函数的最大值;

  (3)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似?请说明理由.

Answer

（1）AC=8cm,点运动的速度为5÷5=1cm/s;

（2）当t=4时,函数的最大值S=

（3） t=或t=

【解析】

（1）由勾股定理求得AC的长，再利用的面积为9,得,即可解题；（2）过点P作PH⊥AC于H,证明△AHP∽△ACB得,求出边长表示S△APQ==,整理成顶点式即可解题；（3）分两种情况讨论当∠PQA=90°时,当∠QPA=90°时,见详解.

【解析】
（1）∵动点以2cm/s的速度运动了5秒到B点, 如下图,

∴AB=10cm,

∵，cm，

∴AC=8cm（勾股定理）

由图2可知当时间为5秒时,的面积为9,

即,

∵BC=CP=6,

∴AQ=3,CQ=8-3=5,

∴点运动的速度为5÷5=1cm/s;

（2）如下图,过点P作PH⊥AC于H,

易证△AHP∽△ACB,

∴,

∴,解得：PH=

∵CQ=t,

∴AQ=8-t,

∴S△APQ===

∴当t=4时,函数的最大值S=

（3）分两种情况,当∠PQA=90°时,如下图,

△AQP∽△ACB,

∴,,解得：t=；

当∠QPA=90°时,如下图,

△AQP∽△ABC,

∴,,解得：t=；

综上, t=或t=时以、、为顶点的三角形与相似.