Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB于点E，F.

（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；

（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB和直线BC于E、F和G. 试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）.

Answer

(1)DE＋DF＝AB.理由见解析； (2) ①当点D在CB的延长线上时， AB＝DE－DF；②当点D在线段BC上时，AB＝DE＋DF；③当点D在BC的延长线上时， AB＝DF－DE.(3)AB＝DE＋DG＋DF.

【解析】

（1）如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；

（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在BC的反向延长线上时，如图4，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF-BF=DE-DF；                          
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF； 
③当点D在BC的延长线上时，如图5，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE-CE=DF-DE；

 （3）如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．

（1）DE+DF=AB. 理由如下：

如图1，∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴DE=AF.

∵DF∥AC，

∴∠FDB=∠C，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠FDB=∠B，

∴DF=FB，

∴DE+DF=AF+FB=AB；

（2）

①当点D在BC的反向延长线上时，如图4，AB=DE-DF；

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴DE=AF.

∴∠FDB=∠BCA，

∵AB=AC，

∴∠BCA =∠B，

∴∠FDB=∠B=∠DBF，

∴DF=FB，

∴AB=AF-BF=DE-DF； ；

②当点D在线段BC上时，同题（1），AB=DE+DF；

③当点D在BC的延长线上时，如图5，AB=DF-DE；

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴DF=AE.

∴∠CDE=∠B，

∵AB=AC，

∴∠BCA =∠B=∠DCE ，

∴∠CDE=∠DCE，

∴CE=DE，

∴AB=AC=AE-CE=DF-DE； ；

（3）AB=DE+DG+DF.

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴DF=AE，

∵DE∥AB，

∴∠EGC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠C=∠EGC，

∴EG=EC，即DE+DG=CE，

∴AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．

故答案为：（1）DE+DF=AB. 理由见解析；（2）①当点D在BC的反向延长线上时，如图4见解析，AB=DE-DF；②当点D在线段BC上时，同题（1），AB=DE+DF；③当点D在BC的延长线上时，如图5见解析，AB=DF-DE；（3）AB=DE+DG+DF.