Question

如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN.

（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；

（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长.

Answer

（1）△PMN为等腰直角三角形. 见详解 （2）13＋.

【解析】

（1） 由等腰Rt△ABC和△CDE证得△BCE≌△ACD，由M，N，P分别为AB，DE，BD的中点，得PN∥BE，PN＝BE，PM∥AD，PM＝AD，证得△PMN为等腰三角形，再由∠BPM＝∠BDA且∠BDA＋∠DAC＝90°，所以∠BPM＋∠EBP＝90°，所以∠BFP＝90°，再根据平行的性质即可求解.

（2） 因为Rt△ACD，所以根据勾股定理求得AD，再因为PM＝AD，求得PM＝PN＝，再根据求得的△PMN为等腰直角三角形，勾股定理求得MN，最后相加即可求解.

（1）△PMN为等腰直角三角形.

证明：在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ECD中，AC＝BC，CD＝CE，易得△BCE≌△ACD.

∴BE＝AD，∠CBE＝∠DAC.

又∵M，N，P分别为AB，DE，BD的中点，

∴PN∥BE，PN＝BE，PM∥AD，PM＝AD.

又∵BE＝AD，

∴PM＝PN.

又∵PM∥AD，

∴∠BPM＝∠BDA且∠BDA＋∠DAC＝90°，

∴∠BPM＋∠EBP＝90°，

∴∠BFP＝90°.

又∵BE∥PN，

∴∠FPN＝90°.

∴△PMN为等腰直角三角形.

（2）在Rt△ACD中，CD＝5，AC＝12，由勾股定理得

AD＝13，

∴PM＝PN＝，MN＝，

∴C△PMN＝＋＋＝13＋.