Question

如图，在中，，是过点的直线，于，于点；

（1）若、在的同侧（如图所示）且．求证：；

（2）若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）由已知条件，证明ABD≌△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC；
（2）同（1），先证ABD≌△CAE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC．

（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB=∠ABC=∠90º，

在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE．

∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．

∵∠DAB+∠DBA=90º，∠EAC+∠ACE=90º，

∴∠BAD+∠CAE=90º．

∠BAC=180º-(∠BAD+∠CAE)=90º．

∴AB⊥AC．

（2）AB⊥AC．理由如下：

同（1）一样可证得Rt△ABD=Rt△ACE．

∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，

∵∠CAE+∠ECA=90°，

∴∠CAE+∠BAD=90º，即∠BAC=90°，

∴AB⊥AC．