Question

实数k取何值时，一元二次方程x²－(2k－3)x＋2k－4＝0：

(1)有两个正根；

(2)有两个异号根，并且正根的绝对值较大；

(3)一根大于3，一根小于3.

Answer

(1)见解析。（2）见解析，（3）见解析。

【解析】

根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答.（1）有两个正根时，x1＞0，x2＞0，即x1＋x2,x1x2.由此得到k的取值.（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大，即x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|.即x1＋x2,x1x2.由此得到k的取值.（3）一根大于3，一根小于3时，即x1＞3，x2＜3. 则k应满足条件：(x1－3)(x2－3)＜0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0. 由此得到k的取值.

【解析】
∵Δ＝[－(2k－3)]2－4(2k－4)＝4k2－20k＋25＝(2k－5)2≥0，∴k取任何实数，方程都有两个实数根．设该方程的两根为x1，x2，则由韦达定理，得x1＋x2＝2k－3，x1x2＝2k－4.

(1)若使x1＞0，x2＞0，则k应满足条件：解得,∴当k＞2时，方程有两个正根．

(2)若使x1＞0，x2＜0且|x1|＞|x2|，则k应满足条件：解得,∴当＜k＜2时，两根异号，且正根的绝对值较大．

(3)若使x1＞3，x2＜3，则k应满足条件：(x1－3)(x2－3)＜0，即x1x2－3(x1＋x2)＋9＜0.∴2k－4－3(2k－3)＋9＜0，k＞.∴当k＞时，方程一根大于3，另一根小于3.