Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边上一动点(不与B，C重合)，∠ADE=∠B=a，DE交AC于点E，且cosa=，则线段CE的最大值为____.

Answer

6.4

【解析】

作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG=CG，再利用余弦的定义计算出BG=8，则BC=2BG=16，设BD=x，则CD=16-x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE=-x2 +,然后利用二次函数的性质求CE的最大值．

【解析】
作AG⊥BC于G，如图，

∵AB=AC，
∴BG=CG，
∵∠ADE=∠B=α，
∴cosB=cosα== ，
∴BG=×10=8，
∴BC=2BG=16，
设BD=x，则CD=16-x，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即α+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，

,即

CE=-x2 +

=-(x-8)2+6.4，

当x=8时，CE最大，最大值为6.4．

故答案为：6.4.