Question

如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=2，点P、E、F分别为边BC、AB、AC上的任意点，则PE+PF的最小值是_____．

Answer

【解析】

当PE⊥AB，PF⊥AC时，PE+PF的值最小.

【解析】
如图，作CG⊥AB于G，PH⊥CG于H，

当PE⊥AB，PF⊥AC时，则∠EGH=GHP=∠PEG=90°，

∴四边形PEGH为矩形，

∴PE=HG，PH∥AB，

∴∠B=∠HPC，

∵AB=AC，

∴∠B=∠FCP，

∴∠HPC=∠FCP，

∵∠PHC=∠CFP=90°，PC=CP，

∴△PHC≌△CFP(AAS)，

∴CH=PF

∴PE＋PF=HG+CH=CG，

故此时PE+PF将取得最小值.

在Rt△ACG中，

∵AC=4，

∴CG2=AC2-AG2=42-AG2，

在Rt△BCG中，

∵BC=2，BG=AB-AG=4-AG，

∴CG2=BC2-BG2=22-(4-AG)2，

∴42-AG2=22-(4-AG)2，

∴AG=，

∴CG===，

∴PE+PF=，

即PE+PF的最小值为.

故答案为：.