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如图,在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,点P、E、F分别为边BC、AB、A...

如图,在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,点P、E、F分别为边BC、AB、AC上的任意点,则PE+PF的最小值是_____

 

【解析】 当PE⊥AB,PF⊥AC时,PE+PF的值最小. 【解析】 如图,作CG⊥AB于G,PH⊥CG于H, 当PE⊥AB,PF⊥AC时,则∠EGH=GHP=∠PEG=90°, ∴四边形PEGH为矩形, ∴PE=HG,PH∥AB, ∴∠B=∠HPC, ∵AB=AC, ∴∠B=∠FCP, ∴∠HPC=∠FCP, ∵∠PHC=∠CFP=90°,PC=CP, ∴△PHC≌△CFP(AAS), ∴CH=PF ∴PE+PF=HG+CH=CG, 故此时PE+PF将取得最小值. 在Rt△ACG中, ∵AC=4, ∴CG2=AC2-AG2=42-AG2, 在Rt△BCG中, ∵BC=2,BG=AB-AG=4-AG, ∴CG2=BC2-BG2=22-(4-AG)2, ∴42-AG2=22-(4-AG)2, ∴AG=, ∴CG===, ∴PE+PF=, 即PE+PF的最小值为. 故答案为:.
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