Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4，MC=3．

（1）求直线BM的解析式；

（2）求过A、M、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形？若没有，请说明理由；若有，则求出一个符合条件的P点的坐标．

Answer

（1）y=-x+4．（2）y=-x2-x+4；（3）见解析（-）（-）．

【解析】

（1）根据MO=MD=4，MC=3就可以求出A、M、B三点的作坐标，根据待定系数法就可以求出直线BM的解析式与抛物线的解析式．

（2）根据（1）中A、M、B三点的作坐标，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．

（3）过M、B作MB的垂线，它与抛物线的交点即为P点，因而符合条件的P点是存在的．当∠PMB=90°时，过P作PH⊥DC交于H，则可证△MPH∽△BMC，得到PH：HM=CM：CB=3：4，因而可以设HM=4a（a＞0），则PH=3a，则P点的坐标为（-4a，4-3a）．将P点的坐标代入y=-x2-+4就可以求出a的值，进而求出P点的坐标．

【解析】
（1）∵MO=MD=4，MC=3，

∴M、A、B的坐标分别为（0，4），（-4，0），（3，0）

设BM的解析式为y=kx+b；

则，解得：

∴BM的解析式为y=x+4．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-3）

将M（0，4）的坐标代入得a=-

∴y=-（x+4）（x-3）=-x2-x+4

（3）设抛物线上存在点P，使△PMB构成直角三角形．

①过M作MB的垂线与抛物线交于P，过P作PH⊥DC交于H，

∴∠PMB=90°，

∴∠PMH=∠MBC，

∴△MPH∽△BMC，

∴PH：HM=CM：CB=3：4

设HM=4a（a＞0），则PH=3a

∴P点的坐标为（-4a，4-3a）

将P点的坐标代入y=-x2-x+4得：

4-3a=-（-4a）2-×（-4a）+4

解得a=0（舍出），a=，

∴P点的坐标为（-，）

②或者，抛物线上存在点P，使△PMB构成直角三角形．

过M作MB的垂线与抛物线交于P，设P的坐标为（x0，y0），

由∠PMB=90°，∠PMD=∠MBC，

过P作PH⊥DC交于H，则MH=-x0，PH=4-y0

∴由tan∠PMD=tan∠MBC

得=，

∴=+4

∴+4=--+4

∴，=0（舍去）

∴=（）+4=，

∴P点的坐标为（，）

类似的，如果过B作BM的垂线与抛物线交于点P，

设P的坐标为（x0，y0），

同样可求得=-，

由-=--+4

∴，=3（舍去）

=（）-=-

这时P的坐标为（，-）．