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如图,已知O为直线AB上的一点,CD⊥AB于点O,PO⊥OE于点O,OM平分∠C...

如图,已知O为直线AB上的一点,CDAB于点OPOOE于点OOM平分∠COE,点FOE的反向延长线上.

(1)OP在∠BOC内,OE在∠BOD内时,如图①所示,直接写出∠POM和∠COF之间的数量关系;

(2)OP在∠AOC内且OE在∠BOC内时,如图②所示,试问(1)中∠POM和∠COF之间的数量关系是否发生变化?并说明理由.

 

(1)∠POM=∠COF,理由见解析;(2)∠POM=∠COF,理由见解析 【解析】 (1)利用垂直的定义,CD⊥AB,PO⊥EO,等量代换得∠COP=∠BOE,利用角平分线的性质,得∠POM=∠POB=(90°-∠POC),∠COF=90°-∠COP,得出结论; (2)利用垂直的定义,同角的余角相等可得∠COP=∠AOF,可推出∠COP+∠COB=∠AOF+∠AOC,即∠BOP=∠COF,由对顶角相等得∠AOF=∠BOE=∠COP,利用角平分线的性质,得∠COP+∠COM=∠BOE+∠MOE,即∠POM=∠BOP,等量代换得出结论. 【解析】 (1)∠POM=∠COF. 证明:∵CD⊥AB, ∴∠COP+∠BOP=90°, ∵OP⊥OE, ∴∠BOE+∠BOP=90°, ∴∠COP=∠BOE, ∵OM平分∠COE, ∴∠POM=∠MOB=∠POB= (90°−∠POC), ∵∠COF=90°−∠COP, ∴∠POM=∠COF; (2)不发生变化.理由:∵CD⊥AB于点O, ∴∠AOP+∠COP=90°. ∵PO⊥OE于点O, ∴∠AOP+∠AOF=90°, ∴∠COP=∠AOF. 又∵∠AOC=∠COB=90°, ∴∠COP+∠COB=∠AOF+∠AOC, 即∠BOP=∠COF. ∵∠AOF=∠BOE,∴∠COP=∠BOE. ∵OM平分∠COE,∴∠COM=∠MOE, ∴∠COP+∠COM=∠BOE+∠MOE, ∴∠POM=∠BOP, ∴∠POM=∠COF. 故答案为:(1)∠POM=∠COF,理由见解析;(2)∠POM=∠COF,理由见解析.
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