Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．

求证：（1）△ABC是等边三角形；

（2）．

Answer

证明：（1）连结OD得OD∥AC ∴∠BDO=∠A 又由OB＝OD得∠OBD＝∠ODB

∴∠OBD=∠A ∴BC＝AC 又∵AB=AC ∴△ABC是等边三角形

(2)连结CD，则CD⊥AB ∴D是AB中点 

∵AE＝AD=AB ∴EC=3AE ∴．

【解析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；

（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．