Question

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃ .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你猜想S₁、S₂、S₃之间的关系?.

Answer

（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3；（3）S1=S2+S3

【解析】

（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据圆的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可；（3）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可得到结论.

（1）如图②，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，即S1＝S2＋S3.

（2）如图①，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，则，故S1＝S2＋S3.

（3）如图③，以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，则，故S1＝S2＋S3.