Question

抛物线y＝ax²+bx+1的顶点为D，与x轴正半轴交于A、B两点，A在B左，与y轴正半轴交于点C，当△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点）时，b的值为（　　）

A. 2    B. ﹣2或﹣4    C. ﹣2    D. ﹣4

Answer

D

【解析】

根据题意和函数图象，利用二次函数的性质和等腰三角形的性质，可以求得b的值，本题得以解决．

【解析】
∵抛物线y＝ax2+bx+1，

∴x＝0时，y＝1，

∴点C的坐标为（0，1），

∴OC＝1，

∵△OBC为等腰直角三角形，

∴OC＝OB，

∴OB＝1，

∴抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的一个交点为（1，0），

∴a+b+1＝0，得a＝﹣1﹣b，

设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴的另一个交点A为（x1，0），

∴x1×1＝ ，

∵△ABD为等腰直角三角形，

∴点D的纵坐标的绝对值是AB的一半，

∴，

∴ ，

解得，b＝﹣2或b＝﹣4，

当b＝﹣2时，a＝﹣1﹣（﹣2）＝1，此时y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，与x轴只有一个交点，故不符合题意，

当b＝﹣4时，a＝﹣1﹣（﹣4）＝3，此时y＝3x2﹣4x+1，与x轴两个交点，符合题意，

故选：D．